Question

20．已知函数f（x）=4sin（ωx-$\frac{π}{4}$）•cosωx在x=$\frac{π}{4}$处取得最值，其中ω∈（0，2）．
（1）求函数f（x）的最小正周期：
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{36}$个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．若α为锐角．g（α）=$\frac{4}{3}$$-\sqrt{2}$，求cosα

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{2}$，由函数的最值可得ω，再由周期公式可得；
（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）-$\sqrt{2}$，可得sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，进而可得cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，整体代入cosα=cos[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（α-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$sin（α-$\frac{π}{6}$）计算可得．

解答 解：（1）化简可得f（x）=4sin（ωx-$\frac{π}{4}$）•cosωx
=4（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinωx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinωx）cosωx
=2$\sqrt{2}$sinωxcosωx-2$\sqrt{2}$cos²ωx
=$\sqrt{2}$sin2ωx-$\sqrt{2}$cos2ωx-$\sqrt{2}$
=2sin（2ωx-$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{2}$，
∵函数f（x）在x=$\frac{π}{4}$处取得最值，
∴2ω×$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，解得ω=2k+$\frac{3}{2}$，k∈Z，
又∵ω∈（0，2），∴ω=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{2}$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{3}$；
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{36}$个单位得到y=2sin[3（x+$\frac{π}{36}$）-$\frac{π}{4}$]-$\sqrt{2}$=2sin（3x-$\frac{π}{6}$）-$\sqrt{2}$的图象，
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）-$\sqrt{2}$的图象．
∵α为锐角，g（α）=2sin（α-$\frac{π}{6}$）-$\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$$-\sqrt{2}$，∴sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，
∴cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cosα=cos[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（α-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$sin（α-$\frac{π}{6}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{5}}{3}$-$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{15}-2}{6}$

点评 本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数图象变换，属中档题．