Question

8．设定义城为R的函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（x）＜f（x）对x∈R恒成立，f（1）=0，则（x+1）f（x）≥0的解集为（　　）

• A． （0，1]
• B． [1，+∞）
• C． [-1，1]
• D． （-∞，-1]∪[1，+∞）

Answer 1

分析 构造新函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则$g′（x）=\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，可知g（x）的性质，从而得到f（x）的性质，即当x＜1时，f（x）＞0；当x＞1时，f（x）＜0．再将不等式（x+1）f（x）≥0转化为$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{f（x）≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+1≤0}\\{f（x）≤0}\end{array}\right.$，即可求出答案．

解答 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则$g′（x）=\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
∴g（x）在R上为减函数，g（1）=f（1）=0，
∴当x＜1时，g（x）＞0，即f（x）＞0；当x＞1时，g（x）＜0，即f（x）＜0．
（x+1）f（x）≥0的解等价于$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{f（x）≥0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x+1≤0}\\{f（x）≤0}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{x≤1}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{x≥1}\end{array}\right.$．
亦即-1≤x≤1．
故选：C．

点评 本题属于构造函数的类型，在处理这种题型时，往往要结合着题目中所给的条件进行构造，比如本题中“f′（x）＜f（x）”，而构造出的g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，$g′（x）=\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0恰好可以将条件用上，这也是有效解决问题的印证之一．