Question

10．已知椭圆C的长轴左、右顶点分别为A，B，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点为F，且$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{BF}$=-1．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若P是椭圆C上的一动点，点P关于坐标原点的对称点为Q，点P在x轴上的射影点为M，连接QM并延长交椭圆于点N．求证：∠QPN=90°．

Answer 1

分析 （1）由已知得到A，B，F的坐标，结合$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{BF}$=-1，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以及隐含条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆的方程可求；
（2）设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，-y₀），M（x₀，0），由直线方程的两点式写出QM所在直线方程，和椭圆方程联立求出N的坐标，进一步求得QP，PN所在直线斜率，由斜率之积等于-1可得答案．

解答 （1）解：由题意可知：A（-a，0），B（a，0），F（c，0），
∵$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{BF}$=-1，∴（c+a，0）•（c-a，0）=c²-a²=-1，
又∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，
联立解得b²=1，a²=2，c²=1．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，-y₀），M（x₀，0），
∴QM所在直线方程为$\frac{y}{-{y}_{0}}=\frac{x-{x}_{0}}{-2{x}_{0}}$，即$y=\frac{{y}_{0}}{2{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{{y}_{0}}{2{x}_{0}}（x-{x}_{0}）}\end{array}\right.$，解得N（$\frac{2{{x}_{0}}^{3}+3{x}_{0}{{y}_{0}}^{2}}{2{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$，$\frac{{{y}_{0}}^{3}}{2{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$），
∴${k}_{QP}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，${k}_{PN}=\frac{\frac{{{y}_{0}}^{3}}{2{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}-{y}_{0}}{\frac{2{{x}_{0}}^{3}+3{x}_{0}{{y}_{0}}^{2}}{2{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}-{x}_{0}}=-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
∴k_QP•k_PN=-1，则∠QPN=90°．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，训练了直线垂直和斜率间的关系，考查计算能力，是中档题．