Question

18．已知圆C：x²+y²-2x-4y+1=0．
（Ⅰ）求过点M（3，1）的圆C的切线方程；
（Ⅱ）若直线l：ax-y+4=0与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为$2\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点M（3，1）的圆C的切线方程；
（Ⅱ）因为弦AB的长为2$\sqrt{3}$，所以点C到直线l的距离为1，即可求a的值．

解答 解：（I）圆C的方程可化为（x-1）²+（y-2）²=4，圆心C（1，2），半径是2．…（2分）
①当切线斜率存在时，设切线方程为y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0．…（3分）
因为$d=\frac{{|{k-2-3k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|{2k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，
所以$k=\frac{3}{4}$．…（6分）
②当切线斜率不存在时，直线方程为x=3，与圆C相切．…（7分）
所以过点M（3，1）的圆C的切线方程为x=3或3x-4y-5=0．…（8分）
（II）因为弦AB的长为2$\sqrt{3}$，
所以点C到直线l的距离为${d_1}=\sqrt{{r^2}-{{（\frac{{|{AB}|}}{2}）}^2}}=1$．…（10分）
因为${d_1}=\frac{{|{a-2+4}|}}{{\sqrt{{a^2}+1}}}=1$．…（12分）
所以$a=-\frac{3}{4}$．…（14分）

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．