Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{ω}{2}$x，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{ω}{2}$x，-$\frac{1}{2}$）（ω＞0，x≥0），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的第n（n∈N^*）个零点记作x_n（从左至右依次计数）．
（1）若ω=$\frac{1}{2}$，求x₂；
（2）若函数f（x）的最小正周期为π，设g（x）=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，求函数g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）若ω=$\frac{1}{2}$时，可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{1}{2}$x$-\frac{1}{4}$的解析式，由f（x）=0，可得sin$\frac{1}{2}x$=$\frac{1}{2}$（x≥0），故有x=4kπ+$\frac{π}{3}$或x=4kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈z，由此可得第二个零点的值；
（2）由f（x）最小正周期为π，则ω=2，g（x）=$\sqrt{1+sin2x}$，因为周期为π，且在区间[$-\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上，其单调递增区间为[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，由此可得到函数g（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sin$\frac{ω}{2}$x•cos$\frac{ω}{2}$x-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sinωx$-\frac{1}{4}$，
∴当ω=$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{1}{2}$x$-\frac{1}{4}$．
令f（x）=0，得x=$4kπ+\frac{π}{3}$或x=$4kπ+\frac{5π}{3}$（k∈Z，x≥0）．
取k=0，得x₂=$\frac{5π}{3}$；
（2）∵f（x）最小正周期为π，则ω=2，
∴g（x）=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|（sinx+cosx，0）|=$\sqrt{1+sin2x}$．
∵其周期为π，且在区间[$-\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上，其单调递增区间为[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴g（x）的单调递增区间为[0，$\frac{π}{4}$]和[$kπ-\frac{π}{4}$，$kπ+\frac{π}{4}$]，k∈N^*．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，函数的零点的定义和求法，三角函数的周期性，属于中档题．