Question

5．已知f（x）=asinx+bcosx，${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$f（x）dx=4，${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}$f（x）dx=$\frac{7-3\sqrt{3}}{2}$，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 根据定积分的计算法则和三角函数的性质即可求出．

解答 解：f（x）=asinx+bcosx，则f（x）的原函数为F（x）=-acosx+bsinx，
${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$f（x）dx=4，${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}$f（x）dx=$\frac{7-3\sqrt{3}}{2}$，
∴-acosx+bsinx|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=b+a=4，∴-acosx+bsinx|${\;}_{0}^{\frac{π}{6}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{1}{2}$b+a=$\frac{7-3\sqrt{3}}{2}$，
解得a=3，b=1，
∴f（x）=3sinx+cosx=$\sqrt{10}$sin（x+θ），
∵-1≤sin（x+θ）≤1，
∴f（x）的最大值为$\sqrt{10}$，最小值为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了定积分的计算和三角函数的性质，属于中档题．