Question

15．设A、B为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1长轴的两端点，P为椭圆上一动点（不同于A、B），作AQ⊥PA，PB⊥BQ，求直线AQ与BQ的交点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析 求得椭圆的a，b，求得A，B的坐标，设P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，运用直线垂直的条件和直线的点斜式方程，可得AQ，BQ的方程，再由消去参数m，n，相乘即可得到所求Q的轨迹方程．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1的a=2，b=1，
由题意可得A（-2，0），B（2，0），
设P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，即有n²=$\frac{4-{m}^{2}}{4}$，①
又AP的斜率为$\frac{n}{m+2}$，可得AQ的斜率为-$\frac{m+2}{n}$，
即有直线AQ的方程为y=-$\frac{m+2}{n}$（x+2），②
又BP的斜率为$\frac{n}{m-2}$，可得BQ的斜率为-$\frac{m-2}{n}$，
即有直线AQ的方程为y=-$\frac{m-2}{n}$（x+2），③
由②×③，y²=$\frac{{m}^{2}-4}{{n}^{2}}$（x²-4），
将①代入上式，可得y²=-4（x²-4），
即有$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故直线AQ与BQ的交点Q的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用联立方程组，消去参数，考查化简整理的运算能力，属于中档题．