Question

1．已知函数f（x）=$\frac{9x}{1+a{x}^{2}}$（a＞0），则f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{18}{4a+1}$
• C． $\frac{18}{a+4}$或$\frac{18}{4a+1}$
• D． $\frac{18}{4a+1}$或$\frac{18}{a+4}$或$\frac{9\sqrt{a}}{2a}$

Answer 1

分析 法1函数f（x）即为$\frac{9}{ax+\frac{1}{x}}$，令t=ax+$\frac{1}{x}$，运用导数，对a讨论，判断单调性，求得最小值，即可得到f（x）的最大值；
法2先求f′（x），令f′（x）=0，可得极值点，分极值点在区间[$\frac{1}{2}$，2]内、外进行讨论可得函数的最大值；

解答 解：法1：函数f（x）=$\frac{9x}{1+a{x}^{2}}$=$\frac{9}{ax+\frac{1}{x}}$（a＞0），
令t=ax+$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{2}$≤x≤2），导数为t′=a-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
①当$\sqrt{\frac{1}{a}}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{4}$，t′＜0，函数t递减，可得t=2取得最小值2a+$\frac{1}{a}$，
函数f（x）取得最大值$\frac{18}{1+4a}$；
②当$\frac{1}{2}$≤$\sqrt{\frac{1}{a}}$＜2，即$\frac{1}{4}$＜a≤4，函数t在（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{\frac{1}{a}}$）递减，在（$\sqrt{\frac{1}{a}}$，2）递增，
可得t=$\sqrt{\frac{1}{a}}$取得最小值2$\sqrt{a}$，
函数f（x）取得最大值$\frac{9\sqrt{a}}{2a}$；
③当$\sqrt{\frac{1}{a}}$＜$\frac{1}{2}$，即a＞4，t′＞0，函数t递增，可得t=$\frac{1}{2}$取得最小值2+$\frac{1}{2}$a，
函数f（x）取得最大值$\frac{18}{a+4}$；
综上f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值为$\frac{18}{4a+1}$或$\frac{18}{a+4}$或$\frac{9\sqrt{a}}{2a}$．
法2：$f'（x）=\frac{{9[1•（1+a{x^2}）-x•2ax]}}{{{{（1+a{x^2}）}^2}}}=\frac{{9（1-a{x^2}）}}{{{{（1+a{x^2}）}^2}}}$，
令f′（x）=0，解得x=$±\frac{\sqrt{a}}{a}$（负值舍去），由$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{a}}{a}＜2$，解得$\frac{1}{4}＜a＜4$．
①当0＜a$≤\frac{1}{4}$时，得f′（x）≥0，∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值为$f（2）=\frac{18}{4a+1}$．
②当a≥4时，由$x∈[\frac{1}{2}，2]$，得f′（x）≤0，∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值为f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{18}{4+a}$．
③当$\frac{1}{4}＜a＜4$时，∵在$\frac{1}{2}＜x＜\frac{\sqrt{a}}{a}$时，f′（x）＞0，在$\frac{\sqrt{a}}{a}$＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值为f（$\frac{\sqrt{a}}{a}$）=$\frac{9\sqrt{a}}{2a}$．
综上f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值为$\frac{18}{4a+1}$或$\frac{18}{a+4}$或$\frac{9\sqrt{a}}{2a}$，
故选：D

点评 本题主要考查函数在闭区间上的最值，求函数的导数，利用导数是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．