Question

9．已知函数f（x）=x|x-m|（m∈R），g（x）=log_ax．
（1）若关于x的不等式f（x）≤2的解集恰好为（-∞，t]，求实数t的最大值；
（2）当m=0时，集合A={x|f（x）＜g（x）}，集合B=（0，$\frac{1}{2}$），且A⊆B，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）易知t＞0，且可知当t取得最大值时，则m也取得最大值；从而转化为求m的最大值，再求t；
（2）由题意得x²＜log_ax，从而讨论可得$\frac{1}{2}$²≥log_a$\frac{1}{2}$，从而解得．

解答 解：（1）当x≤0时，f（x）=x|x-m|≤0，
故t＞0，
故t|t-m|=2，
∵t=m时，t|t-m|=0，
∴t＞m，
故t（t-m）=2，
故m=t-$\frac{2}{t}$，
故m=t-$\frac{2}{t}$在（0，+∞）上是增函数，
故求t的最大值，则m也取得最大值；
而当m＞0时，f（x）=x|x-m|的图象如下，
，
故$\frac{m}{2}$•$\frac{m}{2}$≤2，
故m≤2$\sqrt{2}$，
故当m=2$\sqrt{2}$时，
故t（t-2$\sqrt{2}$）≤2，
解得，2$\sqrt{2}$≤t≤2+$\sqrt{2}$，
故实数t的最大值为2+$\sqrt{2}$；
（2）由题意得，x|x|＜log_ax，
即x²＜log_ax，
∵x²＞0，且不等式的解集A⊆（0，$\frac{1}{2}$），
∴存在x∈（0，$\frac{1}{2}$），log_ax＞0，
故a＜1，
当0＜a＜1时，y=log_ax是减函数，而y=x²在（0，$\frac{1}{2}$）上是增函数，
故$\frac{1}{2}$²≥log_a$\frac{1}{2}$，
即0＜a≤$\frac{1}{16}$；
故a的取值范围为（0，$\frac{1}{16}$]．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及转化思想的应用，同时考查了函数与不等式的关系应用．