Question

18．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求图中a，b的值及函数f（x）的递减区间．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的图象确定A，ω和φ的值即可．
（2）根据三角函数的图象进行求解即可．

解答 解：由图象知A=2，$\frac{3T}{4}$=$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{3}$）=$\frac{9π}{12}$，则T=π，
即$\frac{2π}{ω}$=π，则ω=2，
即f（x）=2sin（2x+φ），
∵f（-$\frac{π}{3}$）=2sin[2×（-$\frac{π}{3}$）+φ]=-2，
即sin（-$\frac{2π}{3}$+φ）=-1，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{7π}{6}$＜φ-$\frac{2π}{3}$＜-$\frac{π}{6}$，
则φ-$\frac{2π}{3}$=-$\frac{π}{2}$，
即φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵函数的周期T=$\frac{5π}{12}$-a=π，
∴a=-$\frac{7π}{12}$，
b=f（0）=2sin$\frac{π}{6}$=2×$\frac{1}{2}$=1．．
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ（k∈Z）得：$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ（k∈Z），
即函数的单调递减区间为[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，（k∈Z）

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出A，ω和φ的值求出函数的解析式是解决本题的关键．