Question

7．空间四边形ABCD中，AB=8．CD=6，E、F分别是对角线AC，BD的中点，且EF=6．求异面直线AB、CD所成的角的大小．

Answer 1

分析 可取AD的中点G，并连接FG，EG，根据条件便可得到FG∥AB，EG∥CD，并求得FG=4，EG=3，并且EF=6，这便得到∠FGE或其补角便为异面直线AB、CD所成的角，从而在△EFG中，由余弦定理可求出cos∠FGE，从而便可得出异面直线AB、CD所成的角的大小．

解答 解：如图，取AD中点G，连接FG，EG，则：
FG∥AB，EG∥CD，且$FG=\frac{1}{2}AB=4，EG=\frac{1}{2}CD=3$；
∴∠FGE或其补角为异面直线AB、CD所成的角；
在△EFG中，FG=4，EG=3，EF=6；
∴$cos∠FGE=\frac{F{G}^{2}+E{G}^{2}-E{F}^{2}}{2FG•EG}$=$\frac{16+9-36}{24}=-\frac{11}{24}$；
∴异面直线AB、CD所成的角的大小为$arccos\frac{11}{24}$．

点评 考查三角形中位线的性质，异面直线所成角的概念及求法，以及余弦定理，注意异面直线所成角的范围．