Question

19．已知圆C的圆心在射线y=2x-3（x≥0），且与直线y=x+2和y=-x+4都相切．
（1）求圆C的方程；
（2）若P（x，y）是圆C上任意一点，求x+2y的最大值．

Answer 1

分析 （1）设C（x，2x-3）（x≥0），利用圆C与直线y=x+2和y=-x+4都相切，求出圆心与半径，即可求圆C的方程；
（2）设t=x+2y，则x+2y-t=0，利用圆心到直线的距离d=$\frac{|-1-t|}{\sqrt{5}}$≤2$\sqrt{2}$，即可求x+2y的最大值．

解答 解：（1）设C（x，2x-3）（x≥0），
∵圆C与直线y=x+2和y=-x+4都相切，
∴$\frac{|x-2x+3+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|x+2x-3-4|}{\sqrt{2}}$，
∵x≥0，∴x=1，
∴C（1，-1），r=2$\sqrt{2}$，
∴圆C的方程（x-1）²+（y+1）²=8；
（2）设t=x+2y，则x+2y-t=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|-1-t|}{\sqrt{5}}$≤2$\sqrt{2}$，
∴-2$\sqrt{10}$-1≤t≤2$\sqrt{10}$+1
∴x+2y的最大值为2$\sqrt{10}$+1．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．