Question

4．数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，求a_n．

Answer 1

分析 先化简a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，根据等差数列的定义判断出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，由等差数列的通项公式求出$\frac{1}{{a}_{n}}$和a_n．

解答 解：由题意得，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，
则a_n+1a_n+2a_n+1=2a_n，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
又a₁=2，所以数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项、公差的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}+（n-1）×\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，
所以a_n=$\frac{n}{2}$．

点评 本题考查数列的递推公式的化简，等差数列的定义、通项公式的应用，考查构造法的应用，属于中档题．