Question

9．已知$\frac{1}{{C}_{5}^{m}}$-$\frac{1}{{C}_{6}^{m}}$=$\frac{7}{10{C}_{7}^{m}}$，则C${\;}_{8}^{m}$+C${\;}_{8}^{5-m}$=84．

Answer 1

分析 由已知等式展开求得m值，然后代入C${\;}_{8}^{m}$+C${\;}_{8}^{5-m}$得答案．

解答 解：由$\frac{1}{{C}_{5}^{m}}$-$\frac{1}{{C}_{6}^{m}}$=$\frac{7}{10{C}_{7}^{m}}$，得$\frac{m!（5-m）!}{5!}-\frac{m!（6-m）!}{6!}=\frac{7m!（7-m）!}{10•7!}$，
即$（5-m）!-\frac{（6-m）!}{6}=\frac{（7-m）!}{60}$，得60-10（6-m）=（6-m）（7-m），
整理得：m²-23m+42=0，解得m=21（舍）或m=2．
∴C${\;}_{8}^{m}$+C${\;}_{8}^{5-m}$=${C}_{8}^{2}+{C}_{8}^{3}$=28+56=84．
故答案为：84．

点评 本题考查组合及组合数公式，是基础的计算题．