Question

4．如图，正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=$\frac{1}{2}$PD=1．
（Ⅰ）求证：MB∥平面PDC；
（Ⅱ）求二面角M-PC-D的余弦值；
（Ⅲ）E为线段PC上一点，若直线DE与直线PM所成的角为60°，求PE的长．

Answer 1

分析 （1）由AB∥CD，AM∥PD可知平面MAB∥平面PDC，故而MB∥平面PDC；
（2）以D为坐标原点建立空间坐标系，出平面PCD和平面PCM的法向量，则法向量的夹角即为二面角的大小；
（3）设$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PC}$，求出$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{PM}$的坐标，代入夹角公式解出λ，从而得出PE的长．

解答 解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，又∵MA∥PD，AB∩MA=A，CD∩PD=DAB?平面ABM，MA?平面ABMCD?平面PDC，PD?平面PDC，
∴平面ABM∥平面PDC，
∵MB?平面ABM，
∴MB∥平面PDC，
（Ⅱ）∵正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，
平面ABCD∩平面AMPD=AD，
在正方形ABCD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面AMPD，
∴CD⊥PD，又AD⊥PD，AD⊥DC，
以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，
则M（1，0，1），P（0，0，2），C（0，1，0），$\overrightarrow{DA}=（1，0，0）$是平面PCD的一个法向量．
设平面MPC的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PM}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{CM}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x-z=0\\ x-y+z=0\end{array}\right.$．
令z=1，得$\overrightarrow n=（1，2，1）$，
则$cos＜\overrightarrow{DA}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{DA}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{DA}|•|\overrightarrow n|}}$=$\frac{1}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
设二面角M-PC-D为θ，由图可知θ为锐角，
所以二面角M-PC-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
（Ⅲ）设$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PC}=（0，λ，-2λ）$（λ∈[0，1]），$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PE}=（0，λ，2-2λ）$，
又$\overrightarrow{PM}=（1，0-1）$，$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PM}}|}}{{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{PM}|}}=\frac{{|{2λ-2}|}}{{\sqrt{2}•\sqrt{{λ^2}+{{（2-2λ）}^2}}}}=\frac{1}{2}$，
解得$λ=\frac{2}{3}$或λ=2（舍），∴PE=$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，向量法求空间角的应用，属于中档题．