Question

18．若函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x存在递减区间，则实数a的最小整数值是0．

Answer 1

分析 首先分析求出函数的定义域，对f（x）求导可得$f′（x）=\frac{1}{x}-ax-2$，根据题意，有f′（x）＜0，变形可得$a＞\frac{1-2x}{{x}^{2}}$，结合x的范围，可得a＞-1，即可得答案．

解答 由题意，x＞0，$f′（x）=\frac{1}{x}-ax-2$，
已知函数存在单调递减区间，由f′（x）＜0有解，即$a＞\frac{1-2x}{{x}^{2}}$有解，
令$y=\frac{1-2x}{{x}^{2}}$，$y′=-\frac{2（1-x）}{{x}^{3}}（x＞0）$，
故y=$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
则有${y}_{min}=\frac{1-2×1}{{1}^{2}}=-1$，
∴a＞-1，（经检验a=-1时f（x）不存在单调区间）．
即实数a的最小整数值为0

点评 本题考查函数的单调性与其导数的关系，解题时注意要先分析函数的定义域，解题过程中注意对“存在”这类问题的理解，学生在处理时往往容易出错．