Question

5．已知抛物线y²=4x与直线y=x-1交于A，B两点．
（I）求该抛物线的焦点坐标及准线方程；
（Ⅱ）求线段AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据抛物线标准方程便可得到p=2，从而可以得出焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）联立抛物线和直线方程，消去y可得到x²-6x+1=0，可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），从而有x₁+x₂=6，可看出直线y=x-1过焦点，从而根据抛物线定义可得到|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2，这样便可求得线段AB的长．

解答 解：（Ⅰ）抛物线的焦点坐标为（1，0）；
准线方程为 x=-1；
（Ⅱ）由方程组 $\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=x-1\end{array}\right.$得：
x²-6x+1=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则：x₁+x₂=6；
如图，

直线y=x-1过焦点，A，B到准线的距离分别为d₁，d₂；
由抛物线定义可知|AB|=|AF|+|BF|=d₁+d₂=x₁+x₂+2=8；
即线段AB的长为8．

点评 考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点和准线，韦达定理，以及抛物线的定义．