Question

15．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一个焦点为F（1，0），其离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线y=x+m与C相交于A，B两点，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-1$（O为坐标原点），求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦距为2，求出几何量，即可求椭圆方程；
（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求得m的值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦距为2，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=1，∴a=$\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
将直线y=x+m，代入椭圆方程，整理可得3x²+4mx+2m²-2=0，
△=16m²-12（2m²-2）＞0，解得-$\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$
∴x₁+x₂=$-\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$
∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）$\frac{{m}^{2}-2}{3}$
∵若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-1$（其中0为坐标原点），
∴x₁x₂+y₁y₂=-1
∴$\frac{2{m}^{2}-2}{3}+\frac{{m}^{2}-2}{3}$=-1，
∴m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的坐标方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．