Question

5．设函数f（x）=a²lnx-x²+ax，（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求所有实数a，使e-1≤f（x）≤e²，?x∈[1，e]恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用导数与函数单调性的关系求得函数的单调区间；
（2）根据e-1≤f（x）≤e²对x∈[1，e]恒成立，得到关于a的不等式组，由（1）的结论求得函数的最值，解不等式组解得即可．

解答 解：（1）∵f（x）=a²lnx-x²+ax，a＞0．
∴函数的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{{a}^{2}}{x}$-2x+a=$\frac{（a-x）（2x+a）}{x}$，由于a＞0，
即f（x）的增区间为（0，a），f（x）的减区间为（a，+∞）．
（2）由题得，f（1）=a-1≥e-1，即a≥e，
由（1）知f（x）在[1，e]内单调递增
要使e-1≤f（x）≤e²对x∈[1，e]恒成立
只要 $\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a-1≥e-1}\\{f（e）{=a}^{2}{-e}^{2}+ae{≤e}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a=e．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性求函数的最值等问题，考查恒成立问题的转化求解能力，属中档题．