Question

5．如图，点P为圆E：（x-1）²+y²=r²（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．
（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点A（-1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q₁，Q₂，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q₁，Q₂都存在，且Q₁，Q₂不重合，则直线Q₁Q₂恒过定点，并求该定点坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设Q（x，y），则PQ的中点$D（0，\frac{y}{2}）$，由题意DE⊥DQ，得$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DQ}=0$，代入坐标得答案；
（Ⅱ）分别设出Q、Q₁、Q₂的坐标，结合A，Q，Q₁共线，E，Q，Q₂共线可把Q₁、Q₂的坐标用Q的坐标表示，得到线Q₁Q₂的方程，再由直线系方程可得直线Q₁Q₂恒过定点，并求该定点坐标．

解答 （Ⅰ）解：设Q（x，y），则PQ的中点$D（0，\frac{y}{2}）$，
∵E（1，0），∴$\overrightarrow{DE}=（1，-\frac{y}{2}）$，$\overrightarrow{DQ}=（x，\frac{y}{2}）$．
在圆E中，∵DE⊥DQ，∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DQ}=0$，则$x-\frac{y^2}{4}=0$．
∴点Q的轨迹方程y²=4x（x≠0）；
（Ⅱ）证明：设Q（t²，2t），${Q}_{1}（{{t}_{1}}^{2}，2{t}_{1}）$，${Q}_{2}（{{t}_{2}}^{2}，2{t}_{2}）$，
则直线Q₁Q₂的方程为（t₁+t₂）y-2x-2t₁t₂=0．
由A，Q，Q₁共线，得$\frac{2{t}_{1}-2t}{{{t}_{1}}^{2}-{t}^{2}}=\frac{2t-1}{{t}^{2}+1}$，从而${t_1}=\frac{t+2}{2t-1}$（$t≠\frac{1}{2}$，否则Q₁不存在），
由E，Q，Q₂共线，得$\frac{2{t}_{2}-2t}{{{t}_{2}}^{2}-{t}^{2}}=\frac{2t-0}{{t}^{2}-1}$，从而${t_2}=-\frac{1}{t}$（t≠0，否则Q₂不存在），
∴${t_1}{t_2}=-\frac{t+2}{{2{t^2}-t}}$，${t_1}+{t_2}=\frac{{{t^2}+1}}{{2{t^2}-t}}$，
∴直线Q₁Q₂的方程化为t²（y-4x）+2t（x+1）+（y+4）=0，
令$\left\{\begin{array}{l}y-4x=0\\ x+1=0\\ y+4=0\end{array}\right.$，得x=-1，y=-4．
∴直线Q₁Q₂恒过定点（-1，-4）．

点评 本题考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，属中档题．