Question

20．如图，抛物线C：y²=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q（1，2）．
（1）求抛物线C的方程及准线l的方程；
（2）过焦点F的直线（不经过Q点）与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k₁，k₂，k₃，问是否存在常数λ，使得k₁+k₂=λk₃成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把Q（1，2）代入y²=2px，得2p=4，即可求抛物线C的方程及准线l的方程；
（2）把直线AB的方程y=k（x-1），代入抛物线方程y²=4x，并整理，求出k₁+k₂，k₃，即可得出结论．

解答 解：（1）把Q（1，2）代入y²=2px，得2p=4，所以抛物线方程为y²=4x，
准线l的方程为x=-1．
（2）由条件可设直线AB的方程为y=k（x-1），k≠0．
由抛物线准线l：x=-1，可知M（-1，-2k），又Q（1，2），所以${k_3}=\frac{2+2k}{1+1}=k+1$，
把直线AB的方程y=k（x-1），代入抛物线方程y²=4x，并整理，可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}，{x_1}{x_2}=1$，
又Q（1，2），故${k_1}=\frac{{2-{y_1}}}{{1-{x_1}}}，{k_2}=\frac{{2-{y_2}}}{{1-{x_2}}}$．因为A，F，B三点共线，所以k_AF=k_BF=k，
即$\frac{y_1}{{{x_1}-1}}=\frac{y_2}{{{x_2}-1}}=k$，
所以${k_1}+{k_2}=\frac{{2-{y_1}}}{{1-{x_1}}}+\frac{{2-{y_2}}}{{1-{x_2}}}=\frac{{2k{x_1}{x_2}-（{2k+2}）（{{x_1}+{x_2}}）+2k+4}}{{{x_1}{x_2}-（{{x_1}+{x_2}}）+1}}=2（{k+1}）$，
即存在常数λ=2，使得k₁+k₂=2k₃成立．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．