Question

8．如图一，在边长为2的等边三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，将△ABD沿AD折起，得到如图二所示的三棱锥A-BCD，其中$BC=\sqrt{2}$．
（1）证明：AD⊥BC；
（2）求四棱锥D-EFCB的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AD⊥DC，AD⊥DB，从而AD⊥平面BDC，由此能证明AD⊥BC．
（2）推导出BD⊥CD，四棱锥D-EFCB的体积V_D-EFBC=V_A-BDC-V_E-AFD，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵在边长为2的等边三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，
将△ABD沿AD折起，得到如图二所示的三棱锥A-BCD，其中$BC=\sqrt{2}$．
∴AD⊥DC，AD⊥DB，
∵DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC
∵BC?平面 BDC，∴AD⊥BC．…（6分）
解：（2）在△BCD中，$BC=\sqrt{2}$，BD=CD=1，
∴BD²+CD²=BC²，∴BD⊥CD，
∵${V_{A-BDC}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，${V_{E-AFD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{24}$，
∴四棱锥D-EFCB的体积${V_{D-EFBC}}={V_{A-BDC}}-{V_{E-AFD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}-\frac{{\sqrt{3}}}{24}=\frac{{\sqrt{3}}}{8}$…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．