Question

19．已知函数f（x）=log_a（a^x+1）+bx（a＞0且a≠1，b∈R）的图象关于y轴对称，且满足f（0）=1．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x+c在[0，1]上存在零点，求实数c的取值范围；
（Ⅲ）若函数φ（x）=2^f（2x）+x+λ×2^x-1（x∈-1，2]），是否存在实数λ使得φ（x）的最小值为-1，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（0）=1，得a=2，函数f（x）=log₂（2^x+1）+bx的图象关于y轴对称⇒f（x）=f（-x）求得b
（Ⅱ）函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x+c在[0，1]上存在零点?即方程log₂（2^x+1）-x=-c在[0，1]上有解，
g（x）=log₂（2^x+1）-x与y=-c由交点，
（Ⅲ）函数φ（x）=2^f（2x）+x+λ×2^x-1=4^x+1+λ•2^x-1=4^x+λ•2^x
令t=2^x，h（t）=t²+λt，t∈[$\frac{1}{2}$，4]
结合二次函数图象，分类求最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=log_a（a^x+1）+bx（a＞0且a≠1，b∈R）满足f（0）=1，∴a=2
函数f（x）=log₂（2^x+1）+bx的图象关于y轴对称⇒log₂（2^x+1）+bx=log₂（2^-x+1）-bx
⇒2bx=bx=log₂（2^-x+1）-log₂（2^x+1）=log₂2^-x=-x，∴b=-$\frac{1}{2}$
综上a=2，b=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x+c在[0，1]上存在零点?方程log₂（2^x+1）-x+c=0在[0，1]上有解，
即方程log₂（2^x+1）-x=-c在[0，1]上有解，
令g（x）=log₂（2^x+1）-x=log₂$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}}$=log₂（1+$\frac{1}{{2}^{x}}$）$∈[lo{g}_{2}\frac{3}{2}，1]$，
∴-1≤c≤-log₂$\frac{3}{2}$⇒实数c的取值范围为[-1，-log2$\frac{3}{2}$]
（Ⅲ）函数φ（x）=2^f（2x）+x+λ×2^x-1=4^x+1+λ•2^x-1=4^x+λ•2^x
令t=2^x，h（t）=t²+λt，t∈[$\frac{1}{2}$，4]
故当-$\frac{λ}{2}$≤$\frac{1}{2}$，即λ≥-1时，当t=$\frac{1}{2}$，函数的最小值$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}λ=-1$，⇒λ=-$\frac{5}{2}$（舍去）；
当$\frac{1}{2}＜-\frac{λ}{2}＜4，即-8＜λ＜-1$，t=-$\frac{λ}{2}$时，函数最小值为$\frac{-{λ}^{2}}{4}=-1解得λ=-2或2（舍去）$；
当$-\frac{λ}{2}≥4，即λ≤-8时$，当t=4时，函数最小值为12+4λ=-1，解得$λ=-\frac{13}{4}$（舍去）
综上：存在实数λ=-2使得φ（x）的最小值为-1．

点评 本题考查了对数函数型、指数函数型的函数运算与性质，含参数二次函数最值问题，属于难题．