Question

9．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，F是椭圆的右焦点，A为左顶点，点P在椭圆上，PF⊥x轴，若$|{PF}|=\frac{1}{4}|{AF}|$，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出椭圆半通径长，代入$|{PF}|=\frac{1}{4}|{AF}|$，化为关于e的方程求解．

解答 解：如图，

∵PF⊥x轴，∴|PF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，而|AF|=a+c，
∴由$|{PF}|=\frac{1}{4}|{AF}|$，得$\frac{{b}^{2}}{a}=\frac{1}{4}（a+c）$，
即4（a²-c²）=a²+ac，∴4e²+e-3=0，解得e=-1（舍）或e=$\frac{3}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质，熟记椭圆通径是解题的关键，是中档题．