Question

14．下列三个命题：
①“a²+b²=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0”，则a²+b²≠0”；
②“$m=\frac{1}{2}$”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分不必要条件；
③已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为$\sqrt{5}$．
上述命题中真命题的序号为②③．

Answer 1

分析 ①，“a²+b²=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0”，则a²+b²≠0”；
②，当$m=\frac{1}{2}$或-2时，直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直；
③，点（1，2）在渐进线y=$\frac{b}{a}x$上，∴$\frac{b}{a}=2，e=\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{5}$，

解答 解：对于①，“a²+b²=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0”，则a²+b²≠0”，故错；
对于②，当$m=\frac{1}{2}$或-2时，直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直，故正确；
对于③，已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线经过点（1，2），则点（1，2）在直线y=$\frac{b}{a}x$上，∴$\frac{b}{a}=2，e=\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{5}$，则该双曲线的离心率的值为$\sqrt{5}$，故正确．
故答案为：②③

点评 本题考查了命题真假的判定，属于基础题．