Question

6．已知 a＞0，b＞0，若$\sqrt{3}$是3^a与3^b的等比中项，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 $\sqrt{3}$是3^a与3^b的等比中项，可得3^a•3^b=$（\sqrt{3}）^{2}$，即a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：a＞0，b＞0，$\sqrt{3}$是3^a与3^b的等比中项，∴3^a•3^b=$（\sqrt{3}）^{2}$，解得a+b=1．
则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$$≥2+2\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=4，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为4．
故选：B．

点评 本题考查了基本不等式的性质、指数的运算性质、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．