Question

15．设定义在[-π，π]上的函数f（x）=cosx-4x²，则不等式f（lnx）+π²＞0的解集是（0，${e}^{-\frac{π}{2}}$）∪（${e}^{\frac{π}{2}}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据函数f（x）的单调性求出f（lnx）＞-π²=f（$\frac{π}{2}$），得到关于lnx的不等式，解出即可．

解答 解：f′（x）=-sinx-8x，f″（x）=-cosx-8＜0，
故f′（x）在[-π，π]递减，
而f′（0）=0，
故x∈[-π，0）时，f′（x）＞0，x∈（0，π]时，f′（x）＜0，
故f（x）在[-π，0）递增，在（0，π]递减，
而f（x）=f（-x），f（x）在[-π，π]是偶函数，
f（$\frac{π}{2}$）=f（-$\frac{π}{2}$）=-π²，
不等式f（lnx）+π²＞0，
即f（lnx）＞-π²=f（$\frac{π}{2}$），
故lnx＞|$\frac{π}{2}$|，故lnx＜-$\frac{π}{2}$，或lnx＞$\frac{π}{2}$，
解得：0＜x＜${e}^{-\frac{π}{2}}$或x＞${e}^{\frac{π}{2}}$，
故答案为：（0，${e}^{-\frac{π}{2}}$）∪（${e}^{\frac{π}{2}}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．