Question

5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\sqrt{3}$acosB=bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，求$\frac{a}{c}$的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得：$\sqrt{3}$sinAcosB=sinBsinA，由于sinA≠0，可得：tanB=$\sqrt{3}$，结合范围B∈（0，π），可求B的值．
（2）由三角形面积公式可求b²=ac，进而利用余弦定理可得2ac=a²+c²，即可解得$\frac{a}{c}$的值．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$acosB=bsinA．
∴由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinAcosB=sinBsinA．
∵A∈（0，π），sinA≠0，
∴解得：$\sqrt{3}$cosB=sinB，可得：tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵B=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×ac×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b²=ac，
又∵由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，可得：2ac=a²+c²，
∴（$\frac{a}{c}$）²-2×$\frac{a}{c}$+1=0，解得：$\frac{a}{c}$=1．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．