Question

16．数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（n=1，2，3，…），且a₂=2a₁．
（1）求常数c的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{$\frac{{a}_{n}-c}{n•{c}^{n}}$}的前n项之和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出．
（2）利用“累加求和”方法即可得出．
（3）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=a_n+cn（n=1，2，3，…），∴a₂=a₁+c=2+c，
又a₂=2a₁，∴2+c=2×2，解得c=2．
（2）由（1）可得：a_n+1-a_n=2n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2[（n-1）+（n-2）+…+1]+2=$2×\frac{（n-1）（n-1+1）}{2}$+2=n²-n+2．
（3）$\frac{{a}_{n}-c}{n•{c}^{n}}$=$\frac{{n}^{2}-n+2-2}{n•{2}^{n}}$=$\frac{n-1}{{2}^{n}}$．
数列{$\frac{{a}_{n}-c}{n•{c}^{n}}$}的前n项之和T_n=0+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=0+$\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{2}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-2}{{2}^{n}}$+$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=1-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了递推关系、“累加求和”方法、“错位相减法”与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．