Question

4．已知动圆P与圆$E：{（{x+\sqrt{3}}）^2}+{y^2}=25$相切，且与圆$F：{（{x-\sqrt{3}}）^2}+{y^2}=1$都内切，记圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l与曲线C交于点A，B，点M为线段AB的中点，若|OM|=1，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）确定|PE|+|PF|=6＞2$\sqrt{3}$，可得P的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，且a=3，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{6}$，即可求C的方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式，即可求得M点坐标，由|OM|=1，可得n²=$\frac{（4+{m}^{2}）^{2}}{16+{m}^{2}}$，由三角形面积公式，结合换元、配方法即可求得△AOB面积的最大值．

解答 解：（1）设动圆P的半径为r，由已知|PE|=5-r，|PF|=r-1，
则有|PE|+|PF|=4＞2$\sqrt{3}$，
∴P的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，且a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1
∴曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）设直线l：x=my+n，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆方程，整理得：（4+m²）y²+2mny+n²-4=0①
y₁+y₂=-$\frac{2mn}{4+{m}^{2}}$，y₁•y₂=$\frac{{n}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{8n}{4+{m}^{2}}$，
由中点坐标公式可知：M（$\frac{4n}{4+{m}^{2}}$，-$\frac{mn}{4+{m}^{2}}$）
∵|OM|=1，
∴n²=$\frac{（4+{m}^{2}）^{2}}{16+{m}^{2}}$②，…（8分）
设直线l与x轴的交点为D（n，0），
则△AOB面积S²=$\frac{1}{4}$n²（y₁-y₂）²=$\frac{48（{m}^{2}+4）}{（16+{m}^{2}）^{2}}$
设t=m²+16（t≥16），
则S²=48（$\frac{1}{t}-\frac{12}{{t}^{2}}$），当t=24时，即m=0时，
△AOB的面积取得最大值1…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，及三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题．