Question

12．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是菱形，AB=AA₁=2，∠ABC=120°，E，F分别为BB₁、AD₁的中点．
（1）求证；平面D₁AE⊥平面ADD₁A₁；
（2）求三棱锥D-D₁AE的体积．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点M，连接FM．BM，则BMFE是平行四边形，证明BM⊥平面ADD₁A₁，可得EF⊥平面ADD₁A₁，即可证明结论；
（2）利用等体积转化，求三棱锥D-D₁AE的体积．

解答 （1）证明：取AD的中点M，连接FM．BM，则BMFE是平行四边形，
∴BM∥EF，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴BM⊥AD，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴BM⊥平面ADD₁A₁，
∴EF⊥平面ADD₁A₁，
∵EF?平面D₁AE
∴平面D₁AE⊥平面ADD₁A₁；
（2）解：由（1）知，EF=BM=$\sqrt{3}$，
∴三棱锥D-D₁AE的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直，面面垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，属于中档题．