Question

20．设常数θ∈（0，$\frac{π}{2}$），函数f（x）=2cos²（θ-$\frac{3}{2}$x）-1，且对任意实数x，f（x）=f（$\frac{π}{3}$-x）恒成立．
（1）求θ值；
（2）试把f（x）表示成关于sinx的关系式；
（3）若x∈（0，π）时，不等式f（x）＞2a•f（$\frac{2x}{3}$）-13f（$\frac{x}{3}$）恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式降幂，结合f（x）=f（$\frac{π}{3}$-x）恒成立求得cos2θ=0，从而求得θ值；
（2）把θ值代入即可求得f（x）关于sinx的关系式；
（3）把f（x）＞2a•f（$\frac{2x}{3}$）-13f（$\frac{x}{3}$）转化为cos²x-acosx+3＞0．令cosx=t（-1＜t＜1），则t²-at+3＞0在t∈（-1，1）上恒成立，再转化为关于a的不等式组求解．

解答 解：（1）f（x）=2cos²（θ-$\frac{3}{2}$x）-1=cos（2θ-3x），
则f（$\frac{π}{3}-x$）=cos（2θ-π+3x）=-cos（2θ+3x）．
由f（x）=f（$\frac{π}{3}$-x），得cos（2θ-3x）=-cos（2θ+3x），
即cos（2θ-3x）+cos（2θ+3x）=0，
∴2cos2θcos3x=0，则cos2θ=0，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴θ=$\frac{π}{4}$；
（2）f（x）=2cos²（θ-$\frac{3}{2}$x）-1=cos（2θ-3x）=cos（$\frac{π}{2}-3x$）=sin3x=3sinx-4sin³x；
（3）由f（x）＞2a•f（$\frac{2x}{3}$）-13f（$\frac{x}{3}$），得sin3x＞2asin2x-13sinx，
∴3sinx-4sin³x＞4asinxcosx-13sinx，即cos²x-acosx+3＞0．
令cosx=t（-1＜t＜1），则t²-at+3＞0在t∈（-1，1）上恒成立．
∴△=a²-12＜0或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-12≥0}\\{\frac{a}{2}≤-1}\\{a+4≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-12≥0}\\{\frac{a}{2}≥1}\\{4-a≥0}\end{array}\right.$．
解得：-4≤a≤4．

点评 本题考查恒成立问题，考查三角函数的性质的应用，训练了恒成立问题的求解方法，考查利用“三个二次”结合求解字母的取值范围，属中档题．