Question

8．已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b=$\sqrt{2}$a，$\sqrt{3}$cosB=$\sqrt{2}$cosA，c=$\sqrt{3}$+1，则△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可求sinB=$\sqrt{2}$sinA，cosB=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$cosA，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，cosB，进而可求A，B，C的值，由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵由b=$\sqrt{2}$a，可得：sinB=$\sqrt{2}$sinA，
由$\sqrt{3}$cosB=$\sqrt{2}$cosA，可得：cosB=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$cosA，
∴（$\sqrt{2}$sinA）²+（$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$cosA）²=1，解得：sin²A+$\frac{1}{3}$cos²A=$\frac{1}{2}$，
∴结合sin²A+cos²A=1，可得：cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{π}{4}$，可得：C=π-A-B=$\frac{7π}{12}$，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得：（$\sqrt{3}+1$）²=a²+（$\sqrt{2}a$）²-2α×$\sqrt{2}$a×cos$\frac{7π}{12}$，
∴解得：a=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×$（$\sqrt{3}+1$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．