Question

20．数列{a_n}为正项等比数列，且满足a₁+$\frac{1}{2}$a₂=4，a₃²=$\frac{1}{4}$a₂a₆；设正项数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=$\frac{（{{b}_{n}+1）}^{2}}{4}$．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （1）设正项等比数列{a_n}的公比为q，由a₁+$\frac{1}{2}$a₂=4，a₃²=$\frac{1}{4}$a₂a₆，可得a₁（1+$\frac{1}{2}$q）=4，${a}_{3}^{2}=\frac{1}{4}$${a}_{4}^{2}$，即q²=4．解得q，a₁，即可得出a_n．正项数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=$\frac{（{{b}_{n}+1）}^{2}}{4}$．b₁=$\frac{（{b}_{1}+1）^{2}}{4}$，解得b₁．n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设正项等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁+$\frac{1}{2}$a₂=4，a₃²=$\frac{1}{4}$a₂a₆，
∴a₁（1+$\frac{1}{2}$q）=4，${a}_{3}^{2}=\frac{1}{4}$${a}_{4}^{2}$，即q²=4．
解得q=2，a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
正项数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=$\frac{（{{b}_{n}+1）}^{2}}{4}$．
∴b₁=$\frac{（{b}_{1}+1）^{2}}{4}$，解得b₁=1．
n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{（{b}_{n}+1）^{2}}{4}$-$\frac{（{b}_{n-1}+1）^{2}}{4}$，化为：（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1-2）=0，
∴b_n-b_n-1=2，
∴数列{b_n}是等差数列，公差为2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴数列{c_n}的前n项的和T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
∴2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=-2+$\frac{4×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．