Question

18．已知f（x）是偶函数，且在区间（-∞，0]上递增，若$f（{2^{2{x^2}-x-1}}）≥f（-4）$，则x的取值范围是（　　）

• A． $[-\frac{1}{2}，1]$
• B． $[-1，\frac{3}{2}]$
• C． $（-∞，-1]∪[\frac{3}{2}，+∞）$
• D． [-2，1]

Answer 1

分析 根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得，$f（{2^{2{x^2}-x-1}}）≥f（-4）$?$f（{2^{2{x^2}-x-1}}）≥f（4）$?${2}^{2{x}^{2}-x-1}$≤4，结合指数函数的性质可得2x²-x-1≤2，解可得x的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，f（x）是偶函数，则$f（{2^{2{x^2}-x-1}}）≥f（-4）$?$f（{2^{2{x^2}-x-1}}）≥f（4）$，
且在区间（-∞，0]上递增，则函数在[0，+∞）上单调递减，则$f（{2^{2{x^2}-x-1}}）≥f（4）$?${2}^{2{x}^{2}-x-1}$≤4，
而${2}^{2{x}^{2}-x-1}$≤4?${2}^{2{x}^{2}-x-1}$≤2²，即2x²-x-1≤2，
解可得-1≤x≤$\frac{3}{2}$，即x的取值范围是[-1，$\frac{3}{2}$]，
故选：B．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及二次不等式的解法，关键是利用函数的奇偶性与单调性，将原问题转化为关于x的不等式求解问题．