Question

13．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为（3，+∞）．

Answer 1

分析 画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，再将所求a+2b化为关于a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可．

解答 解：画出y=|lgx|的图象如图：
∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1
∴-lga=lgb
即ab=1
∴y=a+2b=a+$\frac{2}{a}$，a∈（0，1）
∵y=a+$\frac{2}{a}$在（0，1）上为减函数，
∴y＞1+2=3
∴a+2b的取值范围是（3，+∞）
故答案为：（3，+∞）

点评 本题主要考查了对数函数的图象和性质，利用“对勾”函数（或基本不等式）求函数值域的方法，数形结合的思想方法，转化化归的思想方法，难度中档．