Question

18．已知定点F（1，0），定直线l：x=4，动点P到点F的距离与到直线l的距离之比等于$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设轨迹E与x轴负半轴交于点A，过点F作不与x轴重合的直线交轨迹E于两点B、C，直线AB、AC分别交直线l于点M、N．试问：在x轴上是否存在定点Q，使得$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=0$？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点P（x，y），由条件列出方程，两边平方，并化简方程，即可得到；
（Ⅱ）设BC的方程为x=my+1，代入椭圆方程，整理得（3m²+4）y²+6my-9=0，求出M，N的坐标，利用条件，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设点P（x，y），依题意，有$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|x-4|}$=$\frac{1}{2}$
两边平方，整理得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
所以动点P的轨迹E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）设BC的方程为x=my+1，代入椭圆方程，整理得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设B（my₁+1，y₁），C（my₂+1，y₂），Q（x₀，0），则y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
∵A（-2，0），∴直线AB的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}+3}$（x+2），直线AC的方程为y=$\frac{{y}_{2}}{m{y}_{2}+3}$（x+2），
从而M（4，$\frac{6{y}_{1}}{m{y}_{1}+3}$），N（4，$\frac{6{y}_{2}}{m{y}_{2}+3}$），
∴$\overrightarrow{QM}$$•\overrightarrow{QN}$=$（{x}_{0}-4）^{2}$+$\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{（m{y}_{1}+3）（m{y}_{2}+3）}$=$（{x}_{0}-4）^{2}$-9，
∴$（{x}_{0}-4）^{2}$=9即x₀，=1或7时，$\overrightarrow{QM}$$•\overrightarrow{QN}$=0，
综上所述，在x轴上存在定点Q（1，0）或（7，0），使得$\overrightarrow{QM}$$•\overrightarrow{QN}$=0．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．