Question

15．设实数x、y满足4x²-2$\sqrt{3}$xy+4y²=13，则x²+4y²的取值范围是$[10-4\sqrt{3}，10+4\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 设x²+4y²=t²，则x=tcosα，y=$\frac{1}{2}$tsinα，代入4x²-2$\sqrt{3}$xy+4y²=13，可得t²=$\frac{13}{4co{s}^{2}α-\sqrt{3}sinαcosα+si{n}^{2}α}$=$\frac{13}{\frac{5}{2}-\sqrt{3}sin（2α-\frac{π}{3}）}$，利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：设x²+4y²=t²，则x=tcosα，y=$\frac{1}{2}$tsinα，
∵4x²-2$\sqrt{3}$xy+4y²=13，
∴t²=$\frac{13}{4co{s}^{2}α-\sqrt{3}sinαcosα+si{n}^{2}α}$=$\frac{13}{3×\frac{1+cos2α}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}sinαcosα+1}$=$\frac{13}{\frac{5}{2}+\sqrt{3}（\frac{\sqrt{3}}{2}cos2α-\frac{1}{2}sin2α）}$=$\frac{13}{\frac{5}{2}-\sqrt{3}sin（2α-\frac{π}{3}）}$，
∴$sin（2α-\frac{π}{3}）$=-1时，t²取得最小值：$\frac{13}{\frac{5}{2}+\sqrt{3}}$=10-4$\sqrt{3}$；
$sin（2α-\frac{π}{3}）$=1时，t²取得最大值：$\frac{13}{\frac{5}{2}-\sqrt{3}}$=10+4$\sqrt{3}$．
综上可得：t²∈$[10-4\sqrt{3}，10+4\sqrt{3}]$．
即x²+4y²的取值范围是$[10-4\sqrt{3}，10+4\sqrt{3}]$．
故答案为：$[10-4\sqrt{3}，10+4\sqrt{3}]$．

点评 本题考查了三角函数的单调性与值域、换元方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．