Question

10．已知O，F分别为双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的中心和右焦点，点G、M分别在E的渐近线和右支上，若$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{OG}$=0，GM∥x轴，|OM|=|OF|，则E的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用已知条件求出G与M的坐标，通过|OM|=|OF|，转化求解双曲线的离心率即可．

解答 解：知O，F分别为双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的中心和右焦点，不妨点G、M分别在E的渐近线bx-ay=0和右支上，若$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{OG}$=0，
可得|FG|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，则G的纵坐标为：$\frac{ab}{c}$，
GM∥x轴，则M的纵坐标为：$\frac{ab}{c}$，横坐标为：x，则x²=a²+$\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$，
|OM|=|OF|，可得：a²+$\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$=c²，b²=a²+c²，化简可得2a²=c²，
可得双曲线的离心率为：$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力．