Question

2．如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，O为A′D的中点，连接EF，EO，FO．

（Ⅰ）求证：A′D⊥EF；
（Ⅱ）求直线BD与平面OEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证明A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，推出A'D⊥平面A'EF，然后证明A'D⊥EF．
（Ⅱ）说明A'E⊥A'F，A'D⊥平面A'EF，以A'E，A'F，A'D为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A'-xyz，求出相关点的坐标，求出平面OEF的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线BD与平面OEF所成角的正弦值即可．

解答 解：（Ⅰ）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF
则A′D⊥A′E，A′D⊥A′F…（4分）
又A′E∩A′F=A′
∴A′D⊥平面A′EF…（6分）
而EF?平面A′EF，∴A′D⊥EF．

（Ⅱ）∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴BE=BF=A′E=A′F=1
∴EF=$\sqrt{2}$，∴A′E²+A′F²=EF²，∴A′E⊥A′F
由（Ⅰ）得A′D⊥平面A′EF，
∴分别以A′E，A′F，A′D为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A′-xyz，…（9分）
则A′（0，0，0），F（1，0，0），E（0，1，0），D（0，0，2），
设EF与BD相交于G，则G为EF的中点，
∴O（0，0，1），G（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{OE}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{OF}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{DG}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，-2），
设平面OEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则由$\left\{\begin{array}{l}{y-z=0}\\{x-z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
令直线DG与平面OEF所成角为α，∴sinα=$\frac{2}{\sqrt{3}•\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
∴直线BD与平面OEF所成角的正弦值$\frac{\sqrt{6}}{9}$．

点评 本题考查空间向量数量积的应用，直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．