Question

5．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，四边形OAEF为矩形，平面OAEF⊥平面ABCD，AB=AE．
（Ⅰ）求证：平面DEF⊥平面BDF；
（Ⅱ）若点H在线段BF上，且BF=3HF，求直线CH与平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明EF⊥平面BDF，即可证明平面DEF⊥平面BDF；
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面DEF的法向量，即可求出直线CH与平面DEF所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵ABCD为正方形，∴AO⊥BD，
∵四边形OAEF为矩形，∴AO⊥FO，EF∥AO，
∴EF⊥BD，EF⊥FO，
∵BD∩FO=O，
∴EF⊥平面BDF，
∵EF?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面BDF；
（Ⅱ）解：∵平面OAEF⊥平面ABCD，平面OAEF∩平面ABCD=OA，FO⊥AO，
∴FO⊥平面ABCD，
∴FO⊥AO，FO⊥BO．
建立如图所示的坐标系，设AB=AE=2，则O（0，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），C（-$\sqrt{2}$，0，0），D（0，-$\sqrt{2}$，0），E（$\sqrt{2}$，0，2），F（0，0，2），
∴$\overrightarrow{DE}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，2），$\overrightarrow{DF}$=（0，$\sqrt{2}$，2），$\overrightarrow{BF}$=（0，-$\sqrt{2}$，2），
∵BH=3HF，∴$\overrightarrow{CH}$=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{BF}$=（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{4}{3}$），
设平面DEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+\sqrt{2}y+2z=0}\\{\sqrt{2}y+2z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（0，-$\sqrt{2}$，1），
∴直线CH与平面DEF所成角的正弦值=$\frac{-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}{2×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查线面角，考查向量知识的运用，属于中档题．