Question

19．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求此多面体的全面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△BAD中，由余弦定理求得BD=$\sqrt{3}$，可得AB²=AD²+BD²，得AD⊥BD．再由已知可得CD⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）由已知可得，AG∥EF，AE∥GF，得四边形AEFG为平行四边形，然后求出各面面积得答案．

解答 （Ⅰ）证明：在△BAD中，∵AB=2AD=2，∠BAD=60°，
∴由余弦定理可得BD=$\sqrt{3}$，
则AB²=AD²+BD²，∴AD⊥BD．
在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴GD⊥BD，
又AD∩GD=D，∴BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）由已知可得，AG∥EF，AE∥GF，
∴四边形AEFG为平行四边形，
GD=AD=1，∴EF=AG=$\sqrt{2}$．
EB=AB=2，∴GF=AE=2$\sqrt{2}$．
过G作GH∥DC交CF于H，得FH=2，∴FC=3．
过G作GM∥DB交BE于M，得GM=DB=$\sqrt{3}$，ME=1，∴GE=2．
cos∠GAE=$\frac{8+2-4}{2×2\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{3}{4}$，∴sin∠GAE=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
${S}_{AEFG}=2×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{7}}{4}=\sqrt{7}$．
该几何体的全面积S=$\sqrt{7}+2×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}+\frac{1}{3}×1×1+\frac{1}{2}×2×2$$+\frac{1}{2}×（1+3）×2+\frac{1}{2}×（2+3）×1=\sqrt{7}+\sqrt{3}+9$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查柱、锥、台体表面积的求法，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．