Question

9．下列有关向量的说法：
①若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}$；
②若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为|$\overrightarrow{a}$|；
③若向量$\overrightarrow{a}$=（λ，2λ）与$\overrightarrow{b}$=（3λ，2）的夹角为锐角，则λ＜-$\frac{4}{3}$或λ＞0；
④若O为△ABC内一点，且$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则S_△AOB：S_△AOC：S_△BOC=3：2：1．
其中，错误命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由相等向量的概念判断①；由向量在向量方向上投影的概念判断②；注意向量共线同向判断③；由已知条件求出S_△AOB、S_△AOC、S_△BOC的比值判断④．

解答 解：①，若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，但$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的方向不同，则$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{b}$，故①错误；
②，若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为±|$\overrightarrow{a}$|，故②错误；
③，若向量$\overrightarrow{a}$=（λ，2λ）与$\overrightarrow{b}$=（3λ，2）的夹角为锐角，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}＞0$，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{λ}^{2}+4λ＞0}\\{2λ-6{λ}^{2}≠0}\end{array}\right.$，解得λ∈（-∞，-$\frac{4}{3}$）∪（0，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，+∞），故③错误；
④，若O为△ABC内一点，且$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则S_△AOB：S_△AOC：S_△BOC=3：2：1，正确．
事实上，如图所示，
延长OB到点E，使得$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OB}$，分别以$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OE}$为邻边作平行四边形OAFE．
则$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OF}$，
∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴-$\overrightarrow{OF}$=3$\overrightarrow{OC}$．
又$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{DF}=2\overrightarrow{OD}$．
于是$\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OD}$，
∴S_△ABC=2S_△AOB．
同理可得：S_△ABC=3S_△AOC，S_△ABC=6S_△BOC．
∴AOB，△AOC，△BOC的面积比=3：2：1．
∴正确的命题是1个．
故选：A．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了平面向量的应用问题，对于命题④的判断是解答该题的关键，属中档题．