Question

2．已知函数f（x）=|lnx|-k有两个不同的零点a，b，则代数式|$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a-b}$|的最小值是（　　）

• A． 8$\sqrt{2}$
• B． 8
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 令f（x）=0，求出方程的两个根，代入代数式，结合基本不等式的性质，从而得到答案．

解答 解：令f（x）=|lnx|-k=0，则lnx=±k，
∴x=e^±k，不妨设b=e^-k，a=e^k，
∴|$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a-b}$|=$|\frac{{e}^{2k}{+e}^{-2k}-2+4}{{e}^{k}{-e}^{-k}}|$
=|$\frac{{{（e}^{k}{-e}^{-k}）}^{2}+4}{{e}^{k}{-e}^{-k}}$|=|（e^k-e^-k）+$\frac{4}{{e}^{k}{-e}^{-k}}$|
≥2$\sqrt{4}$=4，
当且仅当（e^k-e^-k）²=4，即k=${e}^{1+\sqrt{3}}$时“=”成立，
故选：D．

点评 本题考查了函数的零点问题，考查基本不等式的性质，是一道基础题．