Question

已知函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=2^x，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知f（x）≤2a恒成立，求常数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的性质可得，f（0）=0，根据x∈（0，1）时，f（x）=2^x，只要求出-1＜x＜0时的函数解析式即可
（2）由函数的解析式求出f（x）的值域，由f（x）≤2a恒成立，则f（x）_max≤2a即可求解

解答：解：（1）由奇函数的性质可得，f（0）=0
当-1＜x＜0时，0＜-x＜1
∴f（x）=-f（-x）=-2^-x
∴f（x）=

-2-x，-1＜x＜0 0，x=1 2x，0＜x＜1

（2）当0＜x＜1时，1＜f（x）＜2
当-1＜x＜0时，-2＜f（x）＜-1
当x=0时，f（x）=0
∴f（x）＜2
∵f（x）≤2a恒成立
∴2a≥2
∴a≥1

点评：本题主要考查了利用奇函数的性质的对称性求解函数的解析式，解题的关键是把所给的变量转化到已知区间上，函数的恒成立常转化为函数的最值求解．