Question

已知函数f(x)=2^x+1定义在R上，
(1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和，设h(x)=t，p(t)=g(2x)+2mh(x)+m²-m-1(m∈R)，求出p(t)的解析式；
(2)若p(t)≥m²-m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围；
(3)若方程p(p(t))=0无实根，求m的取值范围。

Answer 1

解：(1)假设f(x)=g(x)+h(x)①，其中g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，
则有f(-x)=g(-x)+h(-x)，即f(-x)=g(x)-h(x)，②
由①②解得g(x)=，h(x)=，
∵f(x)定义在R上，
∴g(x)，h(x)都定义在R上，
∵g(-x)==g(x)，h(-x)==-h(x)，
∴g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，
∵f(x)=2^x+1，
∴g(x)=，
h(x)=，
由=t，则t∈R，
平方得t²=，
∴g(2x)=2^2x+=t²+2，
∴p(t)=t²+2mt+m²-m+1。
(2)∵t=h(x)对于x∈[1，2]单调递增，
∴，
p(t)=t²+2mt+m²-m+1≥m²-m-1对于t∈恒成立，
∴m≥-对于t∈恒成立，
令φ(t)=-，则φ′(t)=，
∵t∈，∴φ′(t)=＜0，
故φ(t)=-在t∈上单调递减，
∴φ(t)_max=，
∴m≥为m的取值范围．
(3)由(1)得p(p(t))=[p(t)]²+2mp(t)+m²-m+1，
若p(p(t))=0无实根，即[p(t)]²+2mp(t)+m²-m+1=0①无实根，
方程①的判别式△=4m²-4(m²-m+1)=4(m-1)，
1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根；
2°当方程①的判别式△≥0，
即m≥1时，方程①有两个实根p(t)=t²+2mt+m²-m+1=-m±，
即t²+2mt+m²+1±=0②，
只要方程②无实根，故其判别式△=4m²-4(m²+1±)＜0，
即得-1-＜0③，且-1+＜0④，
∵m≥1，③恒成立，
由④解得m＜2，
∴③④同时成立得1≤m＜2；
综上，m的取值范围为m＜2。