【题目】已知椭圆C:(a>b>0),以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2为顶点的三角形周长是4+2
,且∠BF1F2=
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过点Q(1,)引曲线C的弦AB恰好被点Q平分,求弦AB所在的直线方程.
【答案】(1);(2)y=-
x+1
【解析】
(1)利用以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2为顶点的三角形周长是4+2,且∠BF1F2
,建立方程,可求椭圆的几何量,从而可得椭圆C的标准方程;
(2)当斜率l不存在时,过点Q(1,)引曲线C的弦AB不被点Q平分;当直线l的斜率为k时,设方程与椭圆方程联立,利用韦达定理及过点Q(1,
)引曲线C的弦AB恰好被点Q平分,建立方程,即可求得结论.
(1)∵以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2为顶点的三角形周长是4+2,且∠BF1F2=
.
∴2a+2c=4+2,
,∴a=2,c=
∴
∴椭圆方程为.
(2)当直线l的斜率不存在时,过点Q(1,)引曲线C的弦AB不被点Q平分;
当直线l的斜率为k时,l:y-=k(x-1)与椭圆方程联立,
消元可得(1+4k2)x2-4k(2k-1)x+(1-2k)2-4=0,设
∵过点Q(1,)引曲线C的弦AB恰好被点Q平分,∴
,
∴解得.
∵∴点Q在椭圆内∴直线l:
,即l:
.
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【题目】如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知D,E分别为BC,B1C1的中点,点F在棱CC1上,且EF⊥C1D.求证:
(1)直线A1E∥平面ADC1;
(2)直线EF⊥平面ADC1.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆的方程为
,圆
的方程为
,动圆
与圆
内切且与圆
外切.
(1)求动圆圆心的轨迹
的方程;
(2)已知与
为平面内的两个定点,过
点的直线
与轨迹
交于
,
两点,求四边形
面积的最大值.
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【题目】已知函数为偶函数,且函数
的图象的两相邻对称轴间的距离为
.
(1)求的值;
(2)将函数的图象向右平移
个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数
的图象,求函数
的单调递减区间.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,
,
分别为左、右焦点,过
的直线交椭圆
于
,
两点,且
的周长为8.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线交椭圆
于不同两点
,
.
为椭圆上一点,且满足
(
为坐标原点),当
时,求实数
的取值范围.
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【题目】下列说法:
①集合{x∈N|x3=x}用列举法表示为{-1,0,1};
②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R};
③方程组的解集为{x=1,y=2}.
其中正确的有( )
A.3个B.2个
C.1个D.0个
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【题目】如图所示,在四边形中,
,
,
.将四边形
沿对角线
折成四面体
,使平面
平面
,则下列结论中正确的结论个数是( )
①;②
;
③与平面
所成的角为
;
④四面体的体积为
.
A.个B.
个C.
个D.
个
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