Question

已知函数.
（Ⅰ）当时，试讨论的单调性；
（Ⅱ）设，当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.

Answer 1

(I) 当时，当时，在上，，在上，，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在单调递减；当时，时,,函数在上单调递减；时,函数在上单调递增；时,函数在上单调递减；（II）实数取值范围．

试题分析：(I) 当时，试讨论的单调性，首先确定定义域，可通过单调性的定义，或求导确定单调性，由于，含有对数函数，可通过求导来确定单调区间，对函数求导得，由此需对参数讨论，分，，三种情况，判断导数的符号，从而得单调性；（II）设，当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围，由题意可知，当时，若对任意时，的最小值大于或等于当时的最小值即可，由（I）知，当时，在单调递减，在单调递增.，只需求出的最小值，由于本题属于对称轴不确定，需讨论，从而确定实数取值范围．也可用分离参数法来求．
试题解析：（I） =（）   3分
当时，在上，，在上，，函数在上单调递减，在上单调递增；    4分
当时，，函数在单调递减；                   5分
当时，，时,,函数在上单调递减；时,,函数在上单调递增；时,,函数在上单调递减.     7分
（II）若对任意，存在，使成立，只需      9分
由（I）知，当时，在单调递减，在单调递增.，     11分
法一：，对称轴，当，即时，，得：；
当，即时，，得：；
当，即时，，得：.          14分
综上：.                         15分
法二：
参变量分离：，                     13分
令，只需，可知在上单调递增，，.  15分