Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；
（Ⅱ）求三棱锥C-PAD的体积V_C-PAD；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点M，满足PC⊥平面MBD，若存在，求PM的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设AC、BD相交于点F，连接EF，
∵ABCD底面ABCD为菱形，∴F为AC的中点，
又∵E为PA的中点，∴EF∥PC．
又∵EF?平面EBD，PC?平面EBD，
∴PC∥平面EBD．
（Ⅱ）解：∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴△ACD是边长为2正三角形，
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA为三棱锥P-ACD的高，
∴V_C-PAD=．
（Ⅲ）解：在侧棱PC上存在一点M，满足PC⊥平面MBD，下面给出证明．
∵PA⊥底面ABCD，
又ABCD底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
∵BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC．
在△PBC内，可求，BC=2，
在平面PBC内，作BM⊥PC，垂足为M，
设PM=x，则有，解得．
连接MD，∵PC⊥BD，BM⊥PC，BM∩BD=B，BM?平面BDM，BD?平面BDM，
∴PC⊥平面BDM．
所以满足条件的点M存在，此时PM的长为．
分析：（I）利用菱形的性质可得F为AC的中点，再利用三角形的中位线定理可得EF∥PC，利用线面平行的判定定理即可得出；
（II）由已知PA⊥底面ABCD，可得PA为三棱锥P-ACD的高，利用V_C-PAD=V_P-ACD及三棱锥的体积计算公式即可得出；
（III）利用三垂线定理可得BD⊥PC，在平面PBC内，作BM⊥PC，垂足为M，求得PM的长即可知道点M是否在线段PC即可．
点评：熟练掌握菱形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式及“等体积变形、三垂线定理是解题的关键．