Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2，x＞m}\\{{x}^{2}+4x+2，x≤m}\end{array}\right.$若函数g（x）=f（x）-x有三个不同的零点，则实数m的取值范围是[-1，2）．

Answer 1

分析 由题意可得直线y=x和直线y=2有交点，且y=x²+4x+2的图象和直线y=x有两个交点，即必须使函数y=2-x有零点，并且函数y=x²+3x+2=（x+1）（x+2）有两个零点，从而得到m的范围．

解答 解：由题意可得函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2，x＞m}\\{{x}^{2}+4x+2，x≤m}\end{array}\right.$若它的图象和直线y=x有3个不同的交点，
即直线y=x和直线y=2有交点，且y=x²+4x+2的图象和直线y=x有两个交点，
即必须使函数y=2-x有零点，并且函数y=x²+3x+2=（x+1）（x+2）有两个零点，从而得到m＜2并且m≥-1，
故答案为：[-1，2）．

点评 本题主要考查函数零点与方程根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．